题目

已知函数f(x)=x²-mx+m-1
（1）当x∈[2,4]时,f(x)≥-1恒成立,求实数m的取值范围.
（2）是否存在整数a,b（a＞b）,使得不等式a≤f(x)≤b的解集为｛x|a≤x≤b｝?若存在,求出a,b的值；若不存在,说明理由.

提问时间：2021-03-15

答案

f(x)=x²－mx＋m－1≥－1
则：
x²－mx＋m≥0
(x－1)m≤x²
因为：1≤x－1≤3
则：
m≤x²/(x－1)=[(x－1)²＋2(x－1)＋1]/(x－1)=[(x－1)＋1/(x－1)]＋2
因为：x－1≥0,则：(x－1)＋1/(x－1)≥2
即：(x－1)＋1/(x－1)的最小值是2
因：m≤【[(x－1)＋1/(x－1)＋2]】最小值,则：m≤4
(2)
x^2-mx+m-1
=(x-m/2)^2+m-1-(m/2)^2
=(x-m/2)^2-(m/2-1)^2
=(x-1)(x-m+1)
a≤f(x)≤b
a≤x≤b存在
f(x)=0
x=1 x=m+1
m>=0
a=1 b=m+1
m