题目

设f(x)在区间(0 1)上可微,且 f(1)＝2∫(0.5 1)xf(x)dx,证明存在ξ∈
证明存在ξ∈（0,1）使f（ξ）＋ξf'（ξ）＝0

提问时间：2021-03-15

答案

还有一条f(x)在[0,1]上连续吧.
证明: 考虑函数g(x)=xf(x), 有g(x)也在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导.
条件f(1)=2∫xf(x)dx转化为g(1)=∫g(x)dx/(1-0.5).
由开区间版本的第一积分中值定理, 存在c∈(0.5,1)使g(c)=∫g(x)dx/(1-0.5)=g(1).
由罗尔中值定理, 存在ξ∈(c,1), 使g'(ξ)=0, 即有f(ξ)+ξf'(ξ)=0.
之所以要用开区间版本的第一积分中值定理是为了保证c