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题目
已知数列{an}中,其中Sn为数列{an}的前n项和,并且Sn+1=4an+2 (n∈N*),a1=1
(1)bn=an+1-2an (n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列;
(2)设数列cn=
a

提问时间:2021-03-14

答案
(1)由Sn+1=4an+2 (n∈N*)知,Sn+2=4an+1+2,两式相减得an+2=4an+1-4an
an+2-2an+1=2(an+1-2an),又bn=an+1-2an所以bn+1=2bn…①
已知S2=4a1+2,a1=1解得a2=5,b1=a2-2a1=3     …②
由①②得数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,∴bn=3•2n-1.…(4分)
(2)∵bn=an+1-2an=3•2n-1.…
∵cn=
an
2n
(n∈N*),
∴cn+1-cn=
 an+1
2n+1
an
2n
=
an+1−2an
2n+1
=
3•2n−1
2n+1
=
3
4

又c1=
a1
2
=
1
2

故数列{cn}是首项为
1
2
,公差是
3
4
的等差数列,
∴cn=
3
4
n-
1
4
…(8分)
(3)∵cn=
an
2n
(n∈N*) 
又cn=
3
4
n-
1
4

∴an=(3n-1)2n-2…(10分)
当n≥2时,Sn=4an-1+2=(3n-4)2n-1+2;
当n=1时S1=a1=1也适合上式,
所以{an}的前n项为Sn=(3n-4)2n-1+2…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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