题目

如图，AC⊥BC于点C，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，若⊙O的半径等于1，BC=2，△ABC的周长是______．

提问时间：2021-03-14

答案

设BA、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，如图，
∵AC、BE为切线，
∴OE⊥BE、OF⊥AC，且AC⊥BC，OE=OF=1，
∴四边形CEOF为正方形，
∴CE=CF=1，
又由切线长定理，可知BD=BE，AD=AF，
∴△ABC的周长为：BA+BC+AC=BA+AF+BC+CF=BA+AD+BC+CE=BD+BE=2BE=2（BC+CE）=2（2+1）=6，
故答案为：6．

设BA、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F，连接OE、OF，由切线的性质可得OE⊥BE、OF⊥AC，则可得四边形CEOF为正方形，可得CF=CE=OF=1，则BE=1+2=3，又由切线长定理可得BD=BE=3，AF=AD，所以可求得△ABC的周长为BD+BE=2BD=6．

本题考点：切线的性质．

考点点评：本题主要考查切线的性质及切线长定理，由条件求得BE=BD，且求得BE=3是解题的关键．已知切点时，连接圆心和切点是常用的辅助线．