题目

用拉普拉斯变换求积分方程的解
求y(t)+∫y(t-u)(e^u)du(积分限0->t)=2t-3的解.我主要是定积分不知道如何处理,麻烦点拨一下.

提问时间：2021-03-14

答案

积分方程需要转化为微分方程来求解
两边需对t求导,需要先把那个积分整理一下.
∫[0→t] y(t-u)e^u du
令t-u=x,则,du=-dx,x：t→0
=∫[t→0] y(x)e^(t-x) d(-x)
=∫[0→t] y(x)e^(t-x) dx
=e^t∫[0→t] y(x)e^(-x) dx
这样积分方程化为：
y(t)+e^t∫[0→t] y(x)e^(-x) dx=2t-3 (1)
两边除以e^t得：
y(t)e^(-t) + ∫[0→t] y(x)e^(-x) dx = (2t-3)e^(-t)
两边对t求导得：
y'(t)e^(-t) - y(t)e^(-t) + y(t)e^(-t) = 2e^(-t) - (2t-3)e^(-t)
即：y'(t)=2-(2t-3)
这样我们得到一个微分方程
将t=0代入(1)得：y(0)=-3,这是初始条件,这样一个积分方程就化为微分方程初值问题了.
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