题目

极限定理问题
lim [1^(k-1)+.+n^(k-1)]/n^k = 1/k
这个是用什么定理做得?怎么证明这个定理?
n趋近正无穷大

提问时间：2021-03-14

答案

一楼的回答是正确的,利用的是定积分的定义.
这个题可以算是 施洛泽定理应用的典型例题
用Stloz定理做的.
若 n>N 时,Yn < Y(n+1),且limYn＝+∞ n→+∞,
这时如果 lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]= L(L为有限数或无穷大）
则有：lim Xn/Yn = L
这个题 令 Xn=1^(k-1)+.+n^(k-1),Yn=n^k
lim Xn/Yn = lim [Xn - X(n-1)]/[Yn - Y(n-1)]
= lim n^(k-1）/[n^k - (n-1)^k]
= 1/k
Stolz定理的证明如下：先证明L为有限的情况.
根据已知的：
（a） Yn < Y(n+1),
（b）limYn＝+∞ n→+∞,
（c）lim [X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn]= L
则有：
对于任意的ε＞0,存在N,当n > N时 恒有：
|[X(n+1) - Xn]/[Y(n+1) - Yn] - L| ＜0.5ε
因为：[Y(n+1) - Yn]＞0于是有：
(L-0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]＜[X(N+2) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(N+2)-Y(N+1)]-----------(1)
(L-0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]＜[X(N+3) - X(N+2)]＜(L+0.5ε)[Y(N+3)-Y(N+2)]-----------(2)
.
(L-0.5ε)[Yn-Y(n-1)]＜[Xn - X(n-1)]＜(L+0.5ε)[Yn-Y(n-1)]---(m)
(L-0.5ε)[Y(n+1)-Yn]＜[X(n+1) - Xn]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Yn]---(m+1)
把上面的m+1个不等式加起来得到：
(L-0.5ε)[Y（n+1)-Y(N+1)]＜[X(n+1) - X(N+1)]＜(L+0.5ε)[Y(n+1)-Y(N+1)]
即：|[X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L| ＜0.5ε
再看：
[X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn + (1 + Y(N+1)/Yn)*([X(n+1) - X（N+1)]/[Y(n+1) - Y(N+1)] - L)
= Xn/Yn - L
因为 Yn→+∞,而X(N+1),L*Y(N+1) 这些都是一个具体的数,那么
(1 + Y(N+1)/Yn)→1,[X(N+1)-L*Y(N+1)]/Yn →0.
所以存在一个 M ＞N 当 n＞M时,恒有：
|Xn/Yn - L|＜ε
L为有限时得证,当L为∞时,只需证明 |Yn/Xn - 0|＜ε即可证明
lim Xn/Yn =∞,+∞,-∞分开证明.