题目

数列{an}中,a1=1,a2=3 a(n+2)+4a(n+1)-5an=0 n属于N* 求数列的通项公式
数列{an}中,a1=1,a2=3 a(n+2)+4a(n+1)-5an=0 n属于N* 求数列的通项公式
其中 n+2 ,n+1 ,n 都为下标

提问时间：2021-03-14

答案

a(n+2)+4a(n+1)-5an=0
a(n+2)-an= 4an-4a(n+1)
[a(n+2)-an]/[an-a(n+1)]=4
[a(n+2)-an]/[a(n+1)-an]=-4
a2-a1=3-1=2
所以[a(n+1)-an]是以2为首项,公比为-4的等比数列
a(n+1)-an=2*(-4)^(n-1)
an-a(n-1)=2*(-4)^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=2*(-4)^(n-2)
.
a4-a3=2*(-4)^2
a3-a2=2*(-4)^1
a2-a1=2*(-4)^0
以上等式相加得
a(n+1)-a1=2*(-4)^0+2*(-4)^1+2*(-4)^2+...+2*(-4)^(n-2)+2*(-4)^(n-1)
=2*[1-(-4)^n]/[1-(-4)]
=2*[1-(-4)^n]/5
=2/5-(-4)^n/5
a(n+1)=2/5-(-4)^n/5+a1
a(n+1)=2/5-(-4)^n/5+1
a(n+1)=7/5-(-4)^n/5
an=7/5-(-4)^(n-1)/5