题目

数列 中的应用题
某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增.已知1986年底人均住房面积为10m^2,2006年底人均住房面为20m^2.据此计算：1,1996年底人均住房面积超过14m^2,试给出证明;2,若人口年平均增长率不超过3%,是否确保2008年底人均住房面积比2006年底有所增加?为什么?

提问时间：2021-03-14

答案

设1986年的人口总数为a1,2006年的人口总数为a21
设1986年的住宅总面积为b1=10*a1,2006年的住宅总面积为b21=20*a21
则a1*q^20=a21,b1+20*d=b21,则q=(a21/a1)开20次方,d=a21-1/2*a1
1.证明：b11=b1+10*d=5*a1+10*a21,a11=a1*q^10=开根号(a1*a21)
b11>=2*开根号（5*a1*10*a21)=10*开根号(2*a1*a21)>=14*开根号(a1*a21)
所以,996年底人均住房面积超过14m^2
2.人口年平均增长率不超过3%,即q<=1.03,对于2008年底,
a23=a1*q^22,b23=b1+22d=22*a21-a1=22*a1*q^22-a1
人均住房面积=b23/a23=22/q^2-1/q^22,此值在20的附近,具体看p的取值
因此,不能确保2008年底人均住房面积比2006年底有所增加