题目

为什么n阶齐次方程有n个线性无关解?
不好意思，是nj阶齐次线性微分方程

提问时间：2021-03-13

答案

因为对于实矩阵A,expAt必为n阶方阵,而方程的实数域下的解为expAt的列向量线性组合,这个可以用矩阵函数来证明.
对于A和矩阵运算f,若A的最小多项式的根为n个（不论是否重根）分别为s1,s2,s3...,sn,必存在一个多项式函数g,使得g(s)=f(s),g'(s)=f'(s),g''(s)=f''(s).直到g(s)的n阶导=f(s)的n阶导对于所有的s1,s2,.,sn都成立,则g(A)=f(A).这里f（A）就是expAt,因为g是一个多项式函数,对于n阶方阵A,无论A的多少次方都还是n阶方阵,加起来也还是n阶方阵,所以expAt=g(A)必为n阶方阵.
又有对于任意满秩n阶方阵A,expAt的列向量必然线性无关,所以expAt一定有n个现行无关的列向量,其任意组合为n阶齐次方程组的线性无关解.