题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，c cosA成等差数列．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

3

，试求△ABC面积S的最大值．

提问时间：2021-03-13

答案

（I）由题意可得，在△ABC中，2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosB=

1

2

，∴角B=

π

3

．
∵（Ⅱ）若b=

3

，∵B=

π

3

，由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB，即 3=a²+c²-ac．
再由  a²+c²≥2ac，可得 3≥ac，∴△ABC面积S=

1

2

ac•sinB≤

3

2

×

3

2

=

3 3

4

，
故△ABC面积S的最大值为

3 3

4

．

（I）由题意可得2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，解得cosB=

1

2

，从而求出角B．
（Ⅱ）由余弦定理可得3=a²+c²-ac，再由 a²+c²≥2ac，可得 3≥ac，故有ABC面积S=

1

2

ac•sinB≤

3

2

×

3

2

，由此得到S的最大值．

本题考点：等差数列的性质；解三角形．

考点点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题．