题目

求轨迹方程
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A（3,1）,B（-1,3）两点,若C满足OC=aOA+bOB,其中a,b∈R,且a+b=1,求点C的轨迹方程.
麻烦给个过程哦,顺便解释一下什么是轨迹方程（百科里的没看懂……）

提问时间：2021-03-13

答案

设C（x,y）,则向量OC=(x,y)
a+b=1,则b=1-a
OC=aOA+bOB=aOA+(1-a)OB
带入坐标,得,（x,y）=a(3,1)+(1-a)(-1,3)=(4a-1,3-2a)
x=4a-1,y=3-2a
a=(x+1)/4,a=(3-y)/2
也就是(x+1)/4=(3-y)/2,化简的x+2y-5=0
通俗理解轨迹方程,就是xy满足的关系式,一般写成常见图形的方程形式,如直线方程、原方程、圆锥曲线方程,虽然是x,y的关系式,但一般不写成函数形式,比如y=……
求轨迹方程一般用待定系数法,最后消去那个字母系数,比如此题中,我最终消去了a .
注意：若C满足OC=aOA+bOB,其中a,b∈R,且a+b=1,是有固定结论的,就是ABC三点共线,教材上有相关习题的.此命题的逆命题也是成立的,就是“如果ABC三点共线,OC=aOA+bOB,那么a+b=1.