题目
设P是椭圆
+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.
x2 |
a2 |
提问时间:2021-03-13
答案
由已知得到P(0,1)或P(0,-1)
由于对称性,不妨取P(0,1)
设Q(x,y)是椭圆上的任一点,
则|PQ|=
,①
又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1-y2),
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
)2-
+1+a2.②
因为|y|≤1,a>1,若a≥
,则|
|≤1,
所以如果它包括对称轴的x的取值,那么就是顶点上取得最大值,
即当-1≤
≤1时,
在y=
时,|PQ|取最大值
;
如果对称轴不在y的取值范围内的话,那么根据图象给出的单调性来求解.
即当
<-1时,则当y=-1时,|PQ|取最大值2.
由于对称性,不妨取P(0,1)
设Q(x,y)是椭圆上的任一点,
则|PQ|=
x2+(y-1)2 |
又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1-y2),
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
1 |
1-a2 |
1 |
1-a2 |
因为|y|≤1,a>1,若a≥
2 |
1 |
1-a2 |
所以如果它包括对称轴的x的取值,那么就是顶点上取得最大值,
即当-1≤
1 |
1-a2 |
在y=
1 |
1-a2 |
a2
| ||
a2-1 |
如果对称轴不在y的取值范围内的话,那么根据图象给出的单调性来求解.
即当
1 |
1-a2 |
依题意可知|PQ|=
,因为Q在椭圆上,所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
)2-
+1+a2.由此分类讨论进行求解.
x2+(y−1)2 |
=(1-a2)(y-
1 |
1−a2 |
1 |
1−a2 |
椭圆的应用.
本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题时要认真审题,细心计算.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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