题目

已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM=CN．连接MN，交直线AC于点D．设AM=x，CD=y．

（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时，求x的值．
（3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．

提问时间：2021-03-12

答案

（1）过点M作MF∥BC交AC于F，
∴∠FMD=∠CND，∠MFD=∠NCD，∠AMF=∠B．
∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=AC=4．
∴∠AMF=∠B=60．
∴△AMF是等边三角形，
∴AM=AF=MF．
∵AM=CN，
∴MF=CN．
在△MFD和△NCD中，

∠MFD＝∠NCD MF＝NC ∠FMD＝∠CN

，
∴△MFD≌△NCD（ASA），
∴FD=CD=y．
∴AF=4-2y，
∵AM=MF=x=4-2y，
∴y=

4−x

2

（0＜x＜4）；
（2）∵△MFD≌△NCD，
∴S_△MFD=S_△NCD．
∵S_{四边形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_{四边形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_梯形MBCF=5S_△MFD．
∵△MFD≌△NCD，
∴MF和CN边上的高相等为h，
∴梯形MBCF的高为2h．
∴

(x+4)×2h

2

=5×

xh

2

，
∴x=

8

3

．
答：x=

8

3

；
（3）线段DE的长不会改变．
（i）当点M在边AB上时，点D在边AC上，
∵∠AEM=90°，∠A=60°，AM=x，∴AE=

1

2

x，
∴DE=4-

1

2

x-y=4-

1

2

x-（-

1

2

x+2）=2，
（ii）当点M在边AB的延长线上时，点D在边AC的延长线上，
过点M作MP∥AC，交直线BC于点P，
∴MP=BM=BP=x-4，
∴CP=CN=x，
∴CD=

1

2

x-2，
∴AD=4+

1

2

x-2=

1

2

x+2，
又∵AE=

1

2

x，∴DE=AD-AE=

1

2

x+2-

1

2

x=2，
综上所述，DE=2，即线段DE的长不会发生变化．

（1）过点M作MF∥BC交AC于F，由三角形的性质可以得出△MFD≌△NCD，就可以得出FD=CD，就有AF=MF=AM=4-2x而得出结论；
（2）由△MFD≌△NCD可以得出S_△MFD=S_△NCD，就有S_{四边形BCDM}=4S_△MFD，就可以得出S_梯形MBCF=5S_△MFD，设△MFD的MF边上的高为h，就有梯形MBCF的高为2h，根据梯形MBCF的面积与△MFD的面积的关系建立方程求出其解即可；
（3）根据等边三角形的性质由勾股定理就可以表示出DE的值，从而求出结论．

本题考点：相似形综合题．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质及判定的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是解答本题的关键．