题目

求函数f(x)=x+a/x+1在x∈[1,2]时的最大值和最小值

提问时间：2021-03-04

答案

y=(x+a)/(x+1)
yx+y=x+a
(y-1)x=a-y
x=(a-y)/(y-1)
1≤(a-y)/(y-1)≤2
y>1时,
y-1≤a-y≤2y-2
y-1≤a-y,a-y≤2y-2
1＜(a+2)/3≤y≤(a+1)/2
1＜(a+2)/3≤(a+1)/2
a＞1,
则a>1时,1＜(a+2)/3≤y≤(a+1)/2,有最小值(a+2)/3,有最大值(a+1)/2;
y＜1时,
2y-2≤a-y≤y-1
(a+1)/2≤y≤(a+2)/3＜1
(a+1)/2≤(a+2)/3＜1
a＜1
则a＜1时,(a+1)/2≤y≤(a+2)/3＜1,有最小值(a+1)/2,有最大值(a+2)/3;
a=1时,f(x)=1.
综上所述
a＞1时,f(x)有最小值(a+2)/3,有最大值(a+1)/2;
a＜1时,f(x)有最小值(a+1)/2,有最大值(a+2)/3;
a=1时,f(x)=1.