题目

已知f(x)是曲线y=x^-2上点(t,t^-2)处的切线被坐标轴所截线段的长度,求f(t)最小值

提问时间：2021-03-04

答案

y=x^(－2)
得：
y'=－2x^(－3)
在点(t,t^(－2))处的斜率是：k=－2t^(－3),切点是(t,t^(－3)),则切线方程是：
y=－2t^(－3)[x－t]＋t^(－2)
以x=0代入,得：y=－t^(－2)
以y=0代入,得：x=(1/2)t
则：
f(t)=√(x²＋y²)=√[(1/t^4)＋(1/4)t²]
因为：(1/t^4)＋(1/4)t²=(1/t^4)＋(1/8)t²＋(1/8)t²≥3³√[(1/t^4)(1/8t²)(1/8t²)]=3/4
则：f(t)≥√(3/4)=√3/2
则f(t)的最小值是：√3/2