题目

四边形abcd中,ad‖bc,ab=cd,ac⊥bd,m,n分别为ab,cd中点,ag⊥bc于点g,求证ag=mn

提问时间：2021-03-04

答案

证明：
将AC、BD的交点命名为O
做AE‖DC交BC于E
则∠C=∠AEB （平行线的同位角相等）
又：AD‖BC
∴ADCE是平行四边形
∴AE=DC
又：AB=DC
∴AE=AB
∴△ABE是等腰三角形
∴∠B=∠AEB
∴∠B=∠C,同理：∠A=∠D
在△ABC和△DCB中：
∠B=∠C,AB=CD,BC=CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC=BD,∠BAC=∠CAB
又：∠A=∠D
∴∠AOD=∠ADO
又：AC⊥BD
∴∠OAD=∠ODA=45°
∴OA=OD=根号2/2 AD
同理：OB=OC=根号2/2 BC
∵AC⊥BD
∴ABCD面积S=AC*BD=(OA+OC)*(OD+OB)
=(根号2/2AD+根号2/2BC)(根号2/2AD+根号2/2BC)
=1/2(AD+BC)*MN 【∵MN=(AD+BC)/2】
又：AG是等腰梯形的高
∴梯形面积S=1/2(AD+BC)*AG
∴AG=MN