题目

求方程组

x3+y3+z3＝x+y+z x2+y2+z2＝xyz

的所有（如果有）正实数解．

提问时间：2021-03-03

答案

假设原方程组有正实数解．将第二个方程写成x²-（yz）x+（y²+z²）=0．
∵关于x的二次方程有一个实数解的前提是它的判别式是非负数．
∴y²z²-4y²-4z²≥0，y²z²≥4y²+4z²．除以4y²z²，得

1

4

≥

1

y2

+

1

z2

≥

1

y2

．
∴y²≥4，由于y是正数，故y≥2，
同理得x，y，z≥2．
但第一个方程可写成x（x²-1）+y（y²-1）+z（z²-1）=0，
∵x，y，z≥2，
∴原方程组不存在正实数解．

本题从正面很难作答，故可利用反证法，假设原方程组有正实数解，把第二个方程化为关于x的一元二次方程的一般形式，再根据方程有实数根则△≥0，求出x，y，z的取值范围，再把第一个方程化简，得出与x，y，z的取值范围相矛盾的结论即可．

本题考点：非一次不定方程（组）．

考点点评：本题考查的是非一次不定方程组的解，利用反证法由第二个方程得出x，y，z的取值范围是解答此题的关键．