题目

下面的数论题如何证明?
证明(A1,A2,.An)=((A1,.As),(As+1.An))

提问时间：2021-03-01

答案

令a=(A1,A2,.,An),b=((A1,.,As),要证明a=b,可先证明b能整除a,然后再证明a也能整除b,于是a=b
令(As+1,.,An)),c=(A1,.,As),d=(As+1,.,An),则b=(c,d)
由于a是A1,A2,.,An最大公约数,A1,A2,.,An每一项是a的倍数,故c、d都能被a整除,
于是b能被a整除.
由于b是c、d的最大公约数,故c、d都是b的倍数.
由于c是A1,.,As的最大公约数,故A1,.,As每一项都能被c整除,于是也就都能被b整除
同理As+1,.,An每一项也都能被b整除
从而A1,A2,.,An每一项都能被b整除,所以b必然是A1,A2,.,An最大公约数的一个因子
于是a能被b整除.
从而a=b