题目
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
提问时间:2021-02-28
答案
(1)令y=0,解得x1=-1或x2=3
∴A(-1,0)B(3,0)
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
∴C(2,-3)
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1;
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1)
E(x,x2-2x-3)
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-
)2+
,
∴当x=
时,PE的最大值=
;
(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+
,0),F4(4-
,0).
①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+
,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=-x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+
.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+
,0);
④如图,同③可求出F的坐标为(4-
,0).
综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.
∴A(-1,0)B(3,0)
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
∴C(2,-3)
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1;
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1)
E(x,x2-2x-3)
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-
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∴当x=
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(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+
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①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+
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④如图,同③可求出F的坐标为(4-
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综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.
(1)因为抛物线与x轴相交,所以可令y=0,解出A、B的坐标.再根据C点在抛物线上,C点的横坐标为2,代入抛物线中即可得出C点的坐标.再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式;
(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标.E点坐标可根据已知的抛物线求得.因为PE都在垂直于x轴的直线上,所以两点之间的距离为yp-yE,列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案;
(3)存在四个这样的点.
①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+
,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=-x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+
,0);
④如图,同③可求出F的坐标为(4-
,0);
综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.
(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标.E点坐标可根据已知的抛物线求得.因为PE都在垂直于x轴的直线上,所以两点之间的距离为yp-yE,列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案;
(3)存在四个这样的点.
①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+
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④如图,同③可求出F的坐标为(4-
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综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.
二次函数综合题.
本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
举一反三
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