题目

设f（2^x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈(0，

1

4

]∪[4，+∞)，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（4，8]上的最大值为1，求b的取值范围．

提问时间：2021-02-28

答案

（1）∵f（2^x）=x²+bx+c，设2^x=t（t>0），则x=log₂t，
∴f(t)=(log2t)2+b(log2t)+c，
∴f(x)=(log2x)2+b(log2x)+c(x>0)；
（2）当x∈(0，

1

4

]∪[4，+∞)，log₂x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
当x∈（4，8]，log₂x∈（2，3]，已知条件转化为：
f（m）=m²+bm+c，当|m|≥2时，f（m）≥0，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
首先：函数图象为开口向上的抛物线，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
其次：当|m|≥2时，f（m）≥0，有两种情形：
Ⅰ）若f（m）=0有实根，则△=b²-4c≥0，
且在区间[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

，即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

；
即b=-4，此时c=4，且△=0，满足题意．
Ⅱ）若f（m）=0无实根，则△=b²-4c<0，将c=-3b-8代入解得-8<b<-4．
综上Ⅰ）Ⅱ）得：b的取值范围是{b|-5≤b≤-4}．

（1）用换元法求f（x）的解析式，设2^x=t，求出x，代入f（2^x）的解析式，即得所求；
（2）把已知条件转化为二次函数f（m）=m²+bm+c，当|m|≥2时，f（m）≥0，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1，求b的取值范围．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题考查了求函数的解析式以及二次函数在某一区间上的最值问题，是易错题．