题目

1.请用裂项法求“1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…,1+2+3+4+…+n”的前n项和.
2.请用裂项法求“1,1/2,1/2,1/3,1/3,1/3,1/4,1/4,1/4,1/4,…1/n,1/n,…,1/n（有n个1/n）”的前100项和.

提问时间：2021-02-27

答案

显然,由第n项得
an=1+2+3+4+…+n=n*(n+1)/2=1/2*n^2+1/2*n
因为∑n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
∑n=n*(n+1)/2
所以
∑1/2*n^2+1/2*n=1/12n(n+1)(2n+1)+n*(n+1)/4
=1/6n(n+1)（n+2）
2.
显然,对分母为n的分式,之和为1
所以.当分母为n时,有1+2+...+n=n(n+1)/2个数
当n=13时,则为13(13+1)/2=91个数.所以
前91项到为分母为1,2,...13的所有项,14为分母的只有9个
所以为1*13+9/14=191/14