题目

要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

规格类型	A规格	B规格	C规格
钢板类型
第一种钢板	2	1	1
第二种钢板	1	2	3

今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

提问时间：2021-02-25

答案

设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数z张，则

2x+y≥15 x+2y≥18 x+3y≥27 x∈N，y∈N

目标函数 z=x+y
作出可行域如图所示，作出直线x+y=0．作出一组平行直线x+y=t（其中t为参数）．
其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，
经过直线 x+3y=27和直线 2x+y=15的交点A(

18

5

，

39

5

)，直线方程为x+y＝

57

5

．
由于

18

5

和

39

5

都不是整数，而最优解（x，y）中，x，y必须都是整数，
所以，可行域内点A(

18

5

，

39

5

)不是最优解．
经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），且与原点距离最近的直线是x+y=12．
经过的整点是B（3，9）和C（4，8），它们是最优解．
故要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．

根据条件设第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数z张，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识进行求解即可．

本题考点：简单线性规划．

考点点评：本题主要考查线性规划的应用，利用条件建立约束条件和目标函数，利用目标函数的几何意义求最优解，考查学生解决应用问题的能力．