题目

满足条件AB=2,AC=根号2BC的△ABC的面积最大值

提问时间：2021-02-23

答案

最大值2根2
过C作CE垂直AB交AB（或AB延长线）于E
设CE=h,BE=x (x在AB延长线时为负)
S=AB*CE/2 =2*h/2=h
要使S最大,即要使h即CE最大
因CE垂直AB,根据勾股定理有
BE^+CE^=BC^ ==> x^+h^=a^ (1) (^表示平方)
AE^+CE^=AC^ ==> (2-x)^+h^=(根2*a)^ (2)
(1)-(2)得x=(4-a^)/4 代入(1)得
h^=a^-[(4-a^)/4]^=-(a^-12)^/16+8
当a^=12时,h^有最大值8,h有最大值2根2
所以△ABC的面积最大值为2根2
如学过坐标法,看下面提示
设A(0,0),B(2,0),C(x,y)
根(x^+y^)=根2*根((x-2)^+y^)
x^+y^=2((x-2)^+y^)
y^=x^-2(x-2)^=-x^+8x-8=-(x-4)^+8
当x=4时,y有最大值2根2
面积有最大值2根2