题目

实数a为何值时，方程（a-2）x²-2（a+3）x+4a=0有一根大于3，而另一根小于2？

提问时间：2021-02-23

答案

设f（x）=（a-2）x²-2（a+3）x+4a，由题可知a-2≠0
当a-2＞0，即a＞2时对应图象如图①，得

f(2)＜0 f(3)＜0

⇒

a＜5 a＜ 36 7

⇒a＜5
又因为a＞2，所以2＜a＜5．
当a-2＜0，即a＜2时对应图象如图②，得

f(2)＞0 f(3)＞0

⇒a＞

36

7

，
又a＜2，所以a不存在．
棕上得当 2＜a＜5时方程（a-2）x²-2（a+3）x+4a=0有一根大于3，而另一根小于2．

先对二次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，在每一种情况内借助与函数图象分别找到对应的实数a，最后再合并即可．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：题考查了分类讨论的数学思想和一元二次方程根的分布与系数的关系．分类讨论，就是对问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整“的策略．