题目

AD是△ABC的角平分线,AB=DC+AC,证明∠C=2∠B

提问时间：2021-02-23

答案

证明：如图：在AB上截取AE=AC,连接DE
则在△ADE和△ADC中：
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAE=∠DAC
                                               AE=AC
                                               AD为公共边
根据边角边定理可得：△ADE≌△ADC
则有：DE=DC 
又∵已知：AB=DC+AC  且AB=AE+EB
则有DC+AC=AE+EB
又∵   AC=AE
代入上式可得：DC=EB
又∵DE=DC 
∴DE=EB
∴△BDE为等腰三角形
∴∠B=∠EDB
又∵△ADE≌△ADC
∴∠AED=∠C
其中：∠AED为△BDE的一个外交
根据三角形外角定理有：∠AED=∠B+∠EDB=2∠B
最后则可得：=∠C=∠AED=2∠B