题目

包包给自行车装配8档变速齿轮装置,她选择了两个不同的前齿轮,它们的齿数在40和60之间（包含40和60）,以及四个不同的后齿轮,齿数在5到35之间（包含5和35）,齿轮的传动比等于前齿轮的齿数除以后齿轮的齿数.例如,如果她选择了45和55个齿数的前齿轮,还选择了8、13、18、22个齿数的后齿轮,那么得到的8个传动比就是45/8、45/13、45/18、45/22、55/8、55/13、55/18、55/22.选择不当的话,某些传动比就会相同（例如45/18=55/22）,就得不到8个不同的传动比.如果包包选择不当,她得到的不同传动比的最小数目是多少个?此时后齿轮中最大齿数是多少?

提问时间：2021-02-21

答案

不妨设选择前齿轮为X 和MX时,后齿轮由小到大ABCD
则有：
X/A ,X/B ,X/C ,X/D
MX/A ,MX/B ,MX/C ,MX/D
易知X/D（最小）、MX/A（最大）绝对不会等于其他任何比例的.
因此要出现最小数目,当且仅当
X/A = MX/B ,MA = B
X/B = MX/C ,MB = C
X/C = MX/D ,MC = D
就要找适当的比例M和起始数A,使得MA M^2A M^3A都属于5到35之间的整数.
令得M = 1 + 1/N = (N+1)/N 的形式（因M ≥ 2时,A最小为5,此时M^3A最小 = 40超出范围）
就需要A/N、A/N^2、A/N^3是整数,
因此有A最小为8,N为2,这ABCD就是：
8、12、18、27
此时对前齿轮X的要求就是X、3X/2都是属于40到60间的整数.只能取(40,60),因X＞40时,3X/2＞60.
综上,此种选择得到的档位（传动比）最小,为5种.
此时后齿轮中最大的齿数就是27.