题目

我想问高数在求三重积分的一点概念理解
在求三重积分时候,通常是先求了对z的积分,然后需要求对x和y的积分时候,是在z=0也就是xoy面内的投影进行的积分.
如果求了对z的积分后,再对平行于xoy面的一个平面对区域的截面进行积分可以吗?心里不大确定,请高人指点啊.好像根据平行截面面积为已知的立体的体积的求法也可以,是吗?这一点感觉心里不踏实

提问时间：2021-02-19

答案

求三重积分通常有四种方法：投影法（也就是你说的第一种方法）、截面法、化成柱坐标法和化成球坐标法.你说的第二种方法类似截面法.截面法一般适合于平行于xoy平面的截面面积容易求得的情况,一般的积分顺序是：先求出当z为某一定值时截面的面积,面积用z的代数式表示.然后在z的取值范围里面（上下限之间）求积分.形式类似于∫sdz,其中s是用z的代数式表示的截面面积.你说的“如果求了对z的积分后,再对平行于xoy面的一个平面对区域的截面进行积分”这是不行的,如果你想用投影法,那么先对z求积分,再对物体在xoy平面上的投影积分；如果要用截面法,那么顺序是先对平行于xoy面的一个平面对区域的截面进行积分,也就是求面积,再对z求积分.