题目

已知数列（an）中,a1=2 ,6Sn=(an+1)(an+2) ,求数列（an）的通项公式an 和前n项和Sn

提问时间：2021-02-19

答案

6Sn=(an+1)(an+2)=an^2+3an+2
6S(n+1)=a(n+1)^2+3a(n+1)+2
两式相减得
6a(n+1)=a(n+1)^2-an^2+3a(n+1)-3an
a(n+1)^2-an^2-3a(n+1)-3an=0
a(n+1)^2-an^2=3a(n+1)+3an
[a(n+1)+an][a(n+1)-an]=3[a(n+1)+an]
所以a(n+1)=-an或a(n+1)=an+3
①a(n+1)=-an
an=2*(-1)^(n+1)
Sn=1+(-1)^(n+1)
这个数列就是2,-2,2,-2……这样,奇数项是2,偶数项是-2
而(-1)^(n+1)这个式子,在n为奇数,即n+1为偶数时,(-1)^偶数=1
在n为偶数,即n+1为奇数时,(-1)^奇数=-1,再将这个式子乘以2就可以表达这个数列了
而Sn,为2,0,2,0……这样子,奇数项为2,偶数项为0
这个可以理解为奇数项=1+1,偶数项=1+(-1)
因此也可以用(-1)^(n+1)再加上1来表达Sn
②a(n+1)=an+3
这个就是很简单的等差数列了
首项为2,公差为3
所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1
Sn=n(a1+an)/2=n(2+3n-1)/2=(3n^2+n)/2=3/2n^2+n/2
PS：吼吼,楼上的不要认为a(n+1)+an=0这个一定是舍去的哦,其实也可以的,完全符合题意条件的哦～