题目

锐角三角形ABC的三角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量m=（c-a,b-a）,n=（a+b,c）且m∥n
（1）求角B的大小；
（2）若b=1,求a+c的取值范围.

提问时间：2021-02-18

答案

（1）
m=(c-a,b-a),n=(a+b,c)
向量m平行于向量n
则（c-a）*c=（b-a）*（a+b）
b^2=c^2+a^2-ac
又b^2=c^2+a^2-accos∠B
cos∠B =1/2
所以∠B =60°
（2）由正弦定理得到a/sinA=b/sinB=c/sinC
因此a+c=b(sinA+sinC)/sinB
=(sinA+sinC)/sinB
sinA+sinC
=sinA+sin（120°-A）
=sinA+sin120°*cosA-cos120°*sinA
=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=√3/2*cosA+3/2*sinA
=√3(1/2*cosA+√3/2*sinA)
=√3(sin30°*cosA+cos30° *sinA)
=√3sin(A+30°)
因为三角形是锐角三角形,0°＜∠A,∠C＜90°,
又因A+C =120°,
所以A∈（30°,90°）
A+30°∈（60°,120°）
sin(A+30°)∈（√3/2,1]
√3sin(A+30°)∈（3/2,√3]
所以sinA+sinC ∈（3/2,√3]
因为sinB=√3／2,
所以(sinA+sinC)/sinB∈（√3,2]
即a+c∈（√3,2]．