题目

若圆C过点M（0,1）且与直线l:y=-1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A、B为曲线E上的两点.
点P（0,t）（t>0）,且满足AB向量=λPB向量（λ>1）
（1）求曲线E方程（这我会,x^2=4y）
（2）第二问是：若t=6,直线AB的斜率为 1/2,过A、B两点的圆N与抛物线在点A出有共同的切线,求圆N的方程.
（3）分别过A,B作曲线E的切线,两条切线交与Q,若点Q恰好在直线l上,求证：t与QA*QB（向量）均为定值

提问时间：2021-02-17

答案

(2)
【分析】求导可得抛物线E的斜率=1/2 --> 求出A的坐标
∵抛物线E：y=x^2/4 ①,由y'=x/2=1/2得：x=1,代入①得y=1/2,∴A(1,1/2)

设直线AB:y=(x/2) + b,则b=y - (x/2)=1/2 - 1/2=0,直线AB：y=x/2

【联立抛物线E和直线AB,可求出B点坐标】
由x^2=4y和x=2y,得B(2,1)

【圆N的圆心一定在AB的中点上AB中点(1.5,0.75)】
∵AB中点(1.5,0.75),圆N的半径的平方=线段AB的一半的平方=[(2-1)^2+(1-1/2)^2]=[1+1/4]=5 /2
∴圆N:(x-1.5)^2+(y-0.75)^2=5/2