题目

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已知直线与抛物线y^2=2px（p＞0）交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为（2,1）,求p的值.

提问时间：2021-02-14

答案

（方法一）
因为OD⊥AB所以k(OD)*k(AB)=-1则k(AB)=-2
因此AB:y=5-2x
与抛物线方程联立：y^=(5-2x)^=2px
得4x^-(20+2p)x+25=0
所以xAxB=25/4,xA+xB=(10+p)/2
yAyB=(5-2xA)(5-2xB)=25-10(xA+xB)+4xAxB=-5p
又OA⊥OB即(xA,yA)*(xB,yB)=0
所以xAxB+yAyB=0=25/4-5p
可得p=5/4
（方法二）设A B的坐标分别是(2pt1^2,2pt1),(2pt2^2,2pt2)
则OA OB的斜率分别是1/t1,1/t2
因为OD⊥AB,所以t1*t2=-1
由D为(2,1)知道OD斜率是1/2,所以AB的斜率是-2
即1/(t1+t2)=-2,t1+t2=-1/2
AB直线的斜率=AD直线的斜率,即1/(t1+t2)=(2pt1-1)/(2pt1^2-2)
2pt1^2-2=2pt1^2-t1+2pt1*t2-t2
即t1+t2=2pt1*t2+2
把前面的结果代入得-1/2=2p(-1)+2,p=5/4