题目

已知椭圆G 四分之X的平方 加 Y的平方 等于一 过点 （M,0) 作圆x的平方加y的平方等于一的切线 l交椭
AB两点（1球椭圆G的焦点 坐标 和离心率（2将AB的绝对值表示为M 的函数 并求 AB的绝对值的最大值、

提问时间：2021-02-13

答案

1)a^2=4,b^2=1,c^2=a^2-b^2=3,
所以焦点为（-√3,0）,（√3,0）,
离心率 e=c/a=√3/2.
2）圆 x^2+y^2=1 的圆心为（0,0）,半径 r=1,显然 |m|>1.
设过M（m,0）的圆的切线方程为 y=k(x-m),
因为圆心到切线的距离=r=1,
所以 由 |km|/√(k^2+1)=1,解得 k^2=1/(m^2-1),（1）
将切线方程代入椭圆方程,得 x^2+4[k(x-m)]^2=4,
化简得 (4k^2+1)x^2-8k^2mx+4k^2m^2-4=0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2=8k^2m/(4k^2+1),x1*x2=(4k^2m^2-4)/(4k^2+1),
所以 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2]=.