题目

设m,n∈R,f(x)=xˆ2-mnx,(1)当n=1时,①解关于x的不等式f(x)>2mˆ2…
设m,n∈R,f(x)=xˆ2-mnx,
(1)当n=1时,
①解关于x的不等式f(x)>2mˆ2
②当x∈[1,3],不等式f（x+4）＞0恒成立,求m的取值范围；
（2）证明不等式f（mˆ2）+f（nˆ2）≥0

提问时间：2021-02-11

答案

(1)当n=1时,
①f(x)=xˆ2-mx>2mˆ2
xˆ2-mx-2mˆ2>0
(x+m)(x-2m)>0
讨论：当m>0时,x>2m或x<-m
当m<0时,x>-m或x<2m
当m=0时,x为不等于0的任何实数
②当x∈[1,3],不等式f（x+4）＞0恒成立,求m的取值范围；
f(x+4)=xˆ2+8x+16-mx-4m=xˆ2+(8-m)x+16-4m>0恒成立
说明f(x+4)在x∈[1,3]内无解
（2）证明不等式f（mˆ2）+f（nˆ2）≥0
=m^4 - nm^3+n^4 - mn^3
=m^3(m-n)-n^3(m-n)
=(m^3-n^3)(m-n)
=(m-n)(m-n)(m^2+mn+n^2)