题目

在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任意作一条与抛物线y=ax²（a＞0）交于两点的直线，设交点为A、B，则A、B两点纵坐标的乘积是______．

提问时间：2021-02-09

答案

设直线AB的解析式为y=kx+2．
由

y＝kx+2① y＝ax2②

，得ax²-kx-2=0 ③．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
则x₁，x₂是方程③的两个实数根．
所以x₁+x₂=

k

a

，x₁•x₂=-

2

a

，
所以y₁•y₂=a

x

2 1

•a

x

2 2

=a²•（x₁•x₂）²=a²•（-

2

a

）²=4；

设过点P（0，2）的直线AB的解析式为y=kx+2，由

y＝kx+2① y＝ax2②

，得ax²-kx-2=0③，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，根据一元二次方程根与系数的关系，可知x₁，x₂是方程③的两个实数根，且x₁+x₂=

k

a

，x₁•x₂=-

2

a

，进而求出y₁•y₂=4．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题考查了二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定等知识，综合性较强，有一定难度．