题目
如图,Rt△BDE中,∠BDE=90°,BC平分∠DBE交DE于点C,AC⊥CB交BE于点A,△ABC的外接圆的半径为r.
(1)若∠E=30°,求证:BC•BD=r•ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
(1)若∠E=30°,求证:BC•BD=r•ED;
(2)若BD=3,DE=4,求AE的长.
提问时间:2021-02-08
答案
(1)证明:取AB中点O,△ABC是Rt△,AB是斜边,O是外接圆心,连接CO,
∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,
∵BC是∠DBE平分线,
∴∠DBC=∠CBA,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥DB,(内错角相等,两直线平行),
∴
=
,把比例式化为乘积式得BD•CE=DE•OC,
∵OC=r,
∴BD•CE=DE•r.
∵∠D=90°,∠E=30°,
∴∠DBE=60°,
∴∠CBE=
∠DBE=30°,
∴∠CBE=∠E,
∴CE=BC,
∴BC•BD=r•ED.
(2) BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5,
设圆的半径长是r,则OC=OA=r,
∵OC∥DB,
∴△OCE∽△BDE,
∴
=
=
,即
=
=
解得:OE=
r,CE=
r.
CH=
=
r,
∵BC平分∠DBE交DE于点C,则△BDC≌△BHC,
∴BH=BD=3,
则HE=2.
∴CD=CH=
r.
在直角△CHE中,根据勾股定理得:CH2+EH2=CE2,
即(
r)2+22=(
r)2,解得:r=
,
则AE=BE-2r=5-
=
.
∴BO=CO,∠BCO=∠OBC,
∵BC是∠DBE平分线,
∴∠DBC=∠CBA,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥DB,(内错角相等,两直线平行),
∴
OC |
BD |
CE |
DE |
∵OC=r,
∴BD•CE=DE•r.
∵∠D=90°,∠E=30°,
∴∠DBE=60°,
∴∠CBE=
1 |
2 |
∴∠CBE=∠E,
∴CE=BC,
∴BC•BD=r•ED.
(2) BD=3,DE=4,根据勾股定理,BE=5,
设圆的半径长是r,则OC=OA=r,
∵OC∥DB,
∴△OCE∽△BDE,
∴
OC |
BD |
OE |
BE |
CE |
DE |
r |
3 |
OE |
5 |
CE |
4 |
解得:OE=
5 |
3 |
4 |
3 |
CH=
OC•CE |
OE |
4 |
5 |
∵BC平分∠DBE交DE于点C,则△BDC≌△BHC,
∴BH=BD=3,
则HE=2.
∴CD=CH=
4 |
5 |
在直角△CHE中,根据勾股定理得:CH2+EH2=CE2,
即(
4 |
5 |
4 |
3 |
15 |
8 |
则AE=BE-2r=5-
15 |
4 |
5 |
4 |
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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