题目

已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx．

提问时间：2021-02-05

答案

将（1+x）^m≥1+mx看成关于m的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明：
（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；
当m=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，
因为x²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，
则当m=k+1时，
∵x＞-1，
∴1+X＞0，于是在不等式（1+x）^k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．