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题目
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意的a,b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0.
(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;
(2)解不等式f(x
1
2
)
f(x
1
4
)

(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)这两个函数的定义域的交集是空集,求c的取值范围.

提问时间:2021-02-04

答案
(1)设-1≤x1<x2≤1,由奇函数的定义和题设条件,得
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=
f(x2)+f(-x1)
x2+(-x1)
(x2-x1)
>0,
∴f(x)在[-1,1]上是增函数.
∵a,b∈[-1,1],且a>b,
∴f(a)>f(b).
(2)∵f(x)是[-1,1]上的增函数,
∴不等式f(x-
1
2
)
f(x-
1
4
)
等价于
-1≤x-
1
2
≤1
-1≤x-
1
4
≤1
x-
1
2
<x-
1
4
-
1
2
≤x≤
3
2
-
3
4
≤x≤
5
4
解得-
1
2
≤x≤
5
4

∴原不等式的解集是{x|-
1
2
≤x≤
5
4
}

(3)设函数g(x),h(x)的定义域分别是P和Q,
则P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1},
Q={x|-1≤x-c2≤1}={x|c2-1≤x≤c2+1}.
由P∩Q=∅可得c+1<c2-1或c2+1<c-1.
解得c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
(1)由题意,可先证明函数的单调性,由奇定义和题设条件易得函数是增函数,由单调性比较两个函数值的大小即可;
(2)(1)由(1)函数f(x)是[-1,1]上的增函数上的增函数,可将不等式f(x−
1
2
)
f(x−
1
4
)
转化为
−1≤x−
1
2
≤1
−1≤x−
1
4
≤1
x−
1
2
<x−
1
4
,解出它的解集即可得到不等式的解集;
(3)由题意,要先解出两个函数的定义域,得P={x|-1≤x-c≤1}=x|c-1≤x≤c+1},Q={x|-1≤x-c2≤1}={x|c2-1≤x≤c2+1}. 由于此两个集合的解集是空集,比较两个集合的端点,得到关于参数c的不等式,解出c的取值范围.

奇偶性与单调性的综合;集合关系中的参数取值问题.

本题考查了单调性的判断,利用单调性比较大小,解不等式,求函数定义域及根据两集合间的包含关系确定参数的取值范围,本题是单调性运用综合题,解题的关键是判断出函数的单调性,熟练掌握单调性在比较大小与解不等式中的运用,本题中有一易错点,在第二小题中,易忘记定义域的限制条件,只由单调性转化出一个不等式,从而解出x−

1
2
<x−
1
4
得到解集是R,转化时一定要注意等价.本题考查了转化的思想,判断推理的能力及计算能力

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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