题目

设f(x)=Σ(n=0..∞)anx^n,an>0,收敛半径R=1,且lim(x->1-)f(x)=s,证明级数Σ(n=0..∞)an收敛且和为s
请问这个题目怎么证明,答案说证明{an}的部分和有上界

提问时间：2021-01-31

答案

由收敛半径R = 1,对任意0 ≤ x < 1,f(x)有定义.
又由a[n] > 0,对任意0 ≤ x < 1,有a[n]·x^n ≤ a[n],故f(x) = ∑a[n]·x^n ≤ ∑a[n].
另x → 1-,得s = lim{x → 1-} f(x) ≤ ∑a[n].(注:这里不排除∑a[n] = +∞的情形).
对任意ε > 0与N > 0,存在δ = 1-1/(1+ε)^(1/N) > 0.
当1 > x > 1-δ,有x^N > (1-δ)^N = 1/(1+ε).
此时有∑{0 ≤ n ≤ N} a[n] = 1/x^N·∑{0 ≤ n ≤ N} a[n]·x^N
≤ 1/x^N·∑{0 ≤ n ≤ N} a[n]·x^n
≤ 1/x^N·∑{0 ≤ n} a[n]·x^n
≤ (1+ε)f(x)
≤ (1+ε)s.
即有∑{0 ≤ n ≤ N} a[n] ≤ (1+ε)s对任意ε > 0与N > 0均成立.
由ε的任意性及s ≥ 0,有∑{0 ≤ n ≤ N} a[n] ≤ s对任意N > 0均成立.
于是正项级数∑a[n]收敛,并成立∑a[n] ≤ s.
综合得∑a[n] = s.