题目

平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,1),C(-1,0)过点C的直线l绕点C旋转,交Y轴于点D,交线段AB于点E. 要过程!
若△OCD与△ BDE的面积相等,
①求直线CE的解析式
②若y轴上一点P满足∠APE=45°,请写出点P得坐标

提问时间：2021-01-31

答案

（1）、因为A(1,0),B(0,1),所以线段AB的解析式为Y=-X+1,所以E（X,1-X）
过E作EE1垂直于X轴于E1,所以△COD于△CE1E相似,所以CO/CE1=OD/E1E
又因为CO=1,CE1=1+X,E1E=1-X 所以OD=(1-X)/(1+X),BD=1-OD=2X/(1+X)
又因为△OCD与△BDE的面积相等,所以OC*OD=BD*X 即1*(1-X)/(1+X)=2X/(1+X)*X
由此可得2X平方+X+1=0,X=-1(舍去),X=1/2,由此E（1/2,1/2）且已知C(-1,0)
所以CE的斜率K=（1/2）/（1+1/2）=1/3,所以解析式为Y=1/3(X+1)
（2）、因为P再y轴上,所以△APC为等腰△,又因为∠APE=45°,所以∠APB=22.5°、∠PAC=67.5°所以∠APB=22.5°因此△APB为等腰△,PB=AB=根号2,因为B(0,1),所以P（0,1+根号2）；P在Y轴上,所以P点关于X轴的对称点也符合∠APE=45°的要求,所以P(0,-1-根号2)也是本题的解.