题目

在正三棱锥P-ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是___．

提问时间：2021-01-30

答案

取MN和BC的中点分别为E，F，
∵M，N分别是PB，PC的中点，
∴MN∥BC
∵MN⊂截面AMN
∴BC∥截面AMN
设截面AMN∩平面ABC=l
∴BC∥l
∵E，F分别为MN和BC的中点
∴AE⊥MN，AF⊥BC
∴∠EAF为所作的二面角的平面角，
设AB=a，∵截面AMN⊥侧面PBC，∴侧棱PA=PB=PC=

3

2

a，∴PF=

2

2

a，∴EF=

2

4

a
在直角△AEF中，AF=

3

2

a，EF=

2

4

a
∴sin∠EAF=

6

6

故答案为：

6

6

取MN和BC的中点分别为E，F，可以证明BC∥截面AMN，设截面AMN∩平面ABC=l，从而BC∥l，故可知∠EAF为所作的二面角，从而可求棱锥截面与底面所成的二面角正弦值．

本题考点：二面角的平面角及求法．

考点点评：本题考查二面角的作法与计算，解题的关键是正确作出面面角、