题目
已知椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦距为6,椭圆上一点P在直线l:x-y+9=0上运动
求长轴最短时点P的坐标和椭圆方程
求长轴最短时点P的坐标和椭圆方程
提问时间：2021-01-30
答案
设椭圆方程为 mx^2+ny^2=1(m、n>0) ,
因为椭圆与直线有公共点P ,因此联立得 mx^2+n(x+9)^2=1 ,
化简得 (m+n)x^2+18nx+81n-1=0 ,
当椭圆最短时,椭圆与直线相切,因此判别式=(18n)^2-4(m+n)(81n-1)=0 ,（1）
又椭圆焦距为 6 ,因此 |1/m-1/n|=9 ,（2）
由以上两式解得 m=1/45 ,n=1/36 ,或 m=1/36 ,n=1/45 ,
所以,椭圆方程为 x^2/45+y^2/36=1 ,可解得 P（-5,4）,
或 x^2/36+y^2/45=1 ,可解得 P（-4,5）.
因为椭圆与直线有公共点P ,因此联立得 mx^2+n(x+9)^2=1 ,
化简得 (m+n)x^2+18nx+81n-1=0 ,
当椭圆最短时,椭圆与直线相切,因此判别式=(18n)^2-4(m+n)(81n-1)=0 ,（1）
又椭圆焦距为 6 ,因此 |1/m-1/n|=9 ,（2）
由以上两式解得 m=1/45 ,n=1/36 ,或 m=1/36 ,n=1/45 ,
所以,椭圆方程为 x^2/45+y^2/36=1 ,可解得 P（-5,4）,
或 x^2/36+y^2/45=1 ,可解得 P（-4,5）.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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