题目

已知直线L:y=4x和点 R(6,4),在L上求一点Q,使直线RQ与L以及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.

提问时间：2021-01-29

答案

设Q点坐标为(q,4q);则直线PQ方程为:y-4=[(4q-4)/(q-6)](x-6),
令y=0,得到:-4=(4q-4)(x-6)/(q-6)===> -1=（q-1)(x-6)/(q-6);
====>x=6-(q-6)/(q-1)=5q/(q-1); 此即为直线PQ与L交点的横坐标；
∴所围三角形的底长5q/(q-1),高为4q;
面积=20q²/[2(q-1)]=10q²/(q-1)
只要求出f(q)=q²/(q-1)最小值即可,对f(q)求导数得到:
f'(q)=(2q(q-1)-q²)/(q-1)² =(q²-2q)/(q-1)²
令f'(q)=0得到 q=2或0(舍去,因为此时Q为原点,不能围成三角形）
所以q=2,Q=（2,8）