题目

抛物线y^2＝ax(a≠0)的准线与x轴交于点P,直线l经过点P,且与抛物线有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是?

提问时间：2021-01-29

答案

从题目中可以看到,点P的坐标为(-a/4,0)
既然直线l过点P,我们可以假设该直线的表达式为:y=k(x+a/4),k为该直线的斜率;由于题目要求该直线必须与抛物线有交点,我们可以试着画一个图---先画出抛物线,然后找到P点,从P点向抛物线引直线,这条直线即为直线l.
以P为基础点,向抛物线引两条直线L0,L1,他们分别与抛物线相切于点M,点N(假设点M在X轴上方),我们只要保证斜率k的范围小于或者等于L0的斜率k0,且大于L1或者等于的斜率k1,即可保证直线l与抛物线必有公共点
联立下列方程:
y=k(x+a/4)
y²=ax
得:16k²x²+8a(k²-2)x+a²k²=0.(※)
由于L0,L1与抛物线相切,即表示※的判别式为0,即:
△=64a²(k²-2)²-4×16k²×a²k²=0
解得:k²=1,即k=±1
于是有:k0=1,k1=-1
根据前面的分析,只要保证k≤1且k≥-1即可保证直线l与抛物线必有公共点,那么可知k的取值范围为:-1≤k≤1
即倾斜角的范围为:[0,π/4]∪[3π/4,π)