题目

知函数y=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（1）函数的最小值及此时的x的集合；
（2）函数的单调减区间；
（3）此函数的图象可以由函数y＝

2

sin2x的图象经过怎样变换而得到．

提问时间：2021-01-28

答案

由y=sin²x+sin2x+3cos²x=1+sin2x+2cos²x=1+sin2x+（1+cos2x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2
（1）当sin(2x+

π

4

)＝−1时，y_最小=2-

2

，此时，由2x+

π

4

＝2kπ−

π

2

，得x=kπ-

3π

8

，
（2）由2kπ+

π

2

＜2x+

π

4

＜2kπ+

3π

2

，得减区间为x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]
（3）其图象可由y=

2

sin2x的图象向左平移

π

8

个单位，再向上平移2个单位而得到．

（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得函数的最小值以及x的值．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数的单调减区间．
（3）先由y＝

2

sin2x的图象向左平移

π

8

个单位，再向上平移2个单位而得到．y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的图象．

本题考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：本题主要考查了三角函数的最值，两角和公式和二倍角公式的化简求值．考查了考生基础知识和基本能力．