题目

已知球O的表面积是4π,A B C三点都在球面上,且OA OB OC 两两所成的角都为π／3,则四面体OABC的体积是
已知球O的表面积是4π,A B C三点都在球面上,且OA OB OC 两两所成的角都为π／3,则四面体OABC的体积是

提问时间：2021-01-28

答案

球表面积=4πR^2=4π,
则球半径R=1,
四面体棱OA=OB=OC=R=1,
因OA OB OC 两两所成的角都为π／3,故以三角形ABC为底,三个侧棱为1,三个侧面三角形是正三角形,底面ABC也是正三角形,
作OH⊥底面ABC,垂足H,则H是底三角形的外（重、内、垂）心,连结AH,交延长交BC于D,AD=√3/2,AH=2AD/3=√3/3,
OH^2=OA^2-AH^2,
OH=√6/3,
S△ABC=（√3/4）*AB^2=√3/4,
VO-ABC=S△ABC*OH/3=(√3/4)* √6/3/3=√2/12.
四面体OABC的体积是√2/12.