题目

已知函数f(x)＝2

3

sin

x

2

cos

x

2

−(cos2

x

2

−sin2

x

2

)．
（1）求函数f（x）的最大值并求出此时x的值；
（2）若f（x）=0，求

sinx+cos(π+x)

sinx+sin( π 2 −x)

的值．

提问时间：2021-01-27

答案

（1）f(x)＝23sinx2cosx2−(cos2x2−sin2x2)＝3sinx−cosx＝2sin(x−π6)．当x−π6＝2kπ+π2，k∈Z，即x＝2kπ+2π3，k∈Z时，f（x）取得最大值为2．（2）令f（x）=0，求得tanx＝33．∴sinx+cos(π+x)sinx+sin(π2...

（1）利用 二倍角公式、两角差的正弦公式把函数f（x）化为2sin（x-π6），当x−π6＝2kπ+π2，k∈Z时，f（x）取得最大值．（2）令f（x）=0时，得tanx的值，利用同角三角函数的基本关系 和诱导公式得到sinx+cos(π+x)sinx+sin(π2−x)＝sinx−cosxsinx+cosx＝tanx−1tanx+1，把tanx的值代入求得结果．

本题考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式，两角差的正弦公式的应用，以及正弦函数的最值，把函数f（x）化为2sin（x-π6）是解题的关键．