题目

我们知道：若一个数列从第二个数起，每一个数与前一个数的差等于同一个常数，则该数列就叫做等差数列．如：2，4，6，8，…就是一个等差数列．我们定义：若一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则该数列就叫做二阶等差数列．如：数列1，3，7，13，21，…的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，4，6，8，…是一个等差数列，所以该数列1，3，7，13，21，…就是一个二阶等差数列．
（1）等差数列2，4，6，8，…的第100个数是______，前100个数的和为______；
（2）二阶等差数列1，3，7，13，21，…的第六个数是______；
（3）求二阶等差数列1，3，7，13，21，…的第2013个数．

提问时间：2021-01-26

答案

（1）等差数列2，4，6，8，…的第n个数是2n，
所以，第100个数是200，
前100个数的和为：2+4+6+8+…+200=

100×(2+200)

2

=10100；
（2）∵3-1=2，7-3=4，13-7=6，21-13=8，
∴第6个数是21+10=31；
故答案为：（1）2010100；（2）31；
（3）设第n个数为a_n，则a₁=1，
a₂=a₁+2，
a₃=a₂+2×2，
a₄=a₃+2×3，
…，
a_n=a_n-1+2（n-1），
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=1+a₁+2+a₂+2×2+a₃+2×3+…+a_n-1+2（n-1），
∴a_n=1+2[1+2+3+（n-1）]，
=1+2×

(n−1)×(1+n−1)

2

，
=1+n（n-1），
即a_n=1+n（n-1），
∴a₂₀₁₃=1+2013×2012=1+4050156=4050157．