题目

幻方的解法

提问时间：2021-01-23

答案

幻方分为奇阶幻方和偶阶幻方,构成方法也不同.
奇阶幻方
一、Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1,依次向右上方填入2、3、4…,如果右上方已有数字,则向下移一格继续填写.如下图用Merziral法生成的5阶幻方：
17x0924x091x098x0915
23x095x097x0914x0916
4x096x0913x0920x0922
10x0912x0919x0921x093
11x0918x0925x092x099
Merzirac法,有人也叫楼梯法,我管它叫斜步法,即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入）,-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线,则向下移一格继续填写）.
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字,即右上、右下、左上、左下4个方向,每种斜步都可有2种跳步,即左（右）跳步、上（下）跳步.
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X,-Y. 【记住,跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可.如右上方向斜步,跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步,跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】
二、loubere法生成奇阶幻方
在居中的方格向上一格内放1,依次向右上方填入2、3、4…,如果右上方已有数字,则向上移两格继续填写.如下图用Louberel法生成的5阶幻方：
23x096x0919x092x0915
10x0918x091x0914x0922
17x095x0913x0921x099
4x0912x0925x098x0916
11x0924x097x0920x093
上述loubere法可以记作X+Y斜步（数字按右上方顺序填入）,2Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线,则向上移二格继续填写）.对于X+Y斜步相应的跳步可以为2X,2Y. 【记住,跳步是X+Y斜步的X（或Y）相同方向即可.】
2Y跳步,则在居中的方格向上一格放1里,按上斜步,2Y跳步的方法构成幻方.
-2Y跳步,则在居中的方格向下一格放1里,按下斜步,-2Y跳步的方法构成幻方.
2X跳步,则在居中的方格向右一格放1里,按右斜步,2X跳步的方法构成幻方.
-2X跳步,则在居中的方格向左一格放1里,按左斜步,-2X跳步的方法构成幻方.
三、horse法生成奇阶幻方
对于所有的奇阶幻方,在第一行居中的方格内放1,向左走1步,下走2步以跳马步,依次填入2、3、4…,若出到方阵下方,把该数字填到本该填数所在列上方相应的格；若出到方阵右方,把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格；如果落步格已有数字, 则向下移一格继续填写.如下图用Horse法生成的5阶幻方：
23x0912x091x0920x099
4x0918x097x0921x0915
10x0924x0913x092x0916
11x095x0919x098x0922
17x096x0925x0914x093
n阶奇阶幻方,若n为不是3的倍数,那么在任意一格内放1,向左走1步,下走2步以跳马步,依次填入2、3、4…,若出到方阵下方,把该数字填到本该填数所在列上方相应的格；若出到方阵右方,把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格；如果落步格已有数字, 则向上移一格继续填写.如下图用Horse法生成的5阶幻方：
1x0914x0922x0910x0918
25x098x0916x094x0912
19x092x0915x0923x096
13x0921x099x0917x095
7x0920x093x0911x0924
偶阶幻方
偶阶幻方分为双偶幻方和单偶幻方.一个n阶幻方,当n为偶数时,我们称幻方为偶阶幻方；当n可以被4整除时,我们称该偶阶幻方为双偶幻方,如8阶、12阶、16阶等；当n不可被4整除时,我们称该偶阶幻方为单偶幻方,如6阶、10阶、14阶等.
一、双偶幻方的解法
能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方,如8阶、12阶、16阶等,双偶幻方用Spring法、Strachey法生成.
1、Spring法生成双偶幻方：
方法就是两句话：顺序填数,以中心点对称互换数字.
将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将n阶幻方看作一个矩阵,记为A,其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j).
第一步,先令a(i,j)=(i-1)*n+j,即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………n^2【n的平方】.
简单地说,就是1放在幻方的任意一个角格,然后按同一个方向按顺序依次填写其余数.
以8阶幻方为例,顺序填数.如下所示：
1x092x093x094x095x096x097x098
9x0910x0911x0912x0913x0914x0915x0916
17x0918x0919x0920x0921x0922x0923x0924
25x0926x0927x0928x0929x0930x0931x0932
33x0934x0935x0936x0937x0938x0939x0940
41x0942x0943x0944x0945x0946x0947x0948
49x0950x0951x0952x0953x0954x0955x0956
57x0958x0959x0960x0961x0962x0963x0964
等等等等,共有8种方法.（以下我只以一种为例讲解.其余方法相同）
第二步,进行对称交换.
对称交换的方法有两种：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换.（保证不同时为奇或偶即可.）
64x092x0962x094x095x0959x097x0957
9x0955x0911x0953x0952x0914x0950x0916
48x0918x0946x0920x0921x0943x0923x0941
25x0939x0927x0937x0936x0930x0934x0932
33x0931x0935x0929x0928x0938x0926x0940
24x0942x0922x0944x0945x0919x0947x0917
49x0915x0951x0913x0912x0954x0910x0956
8x0958x096x0960x0961x093x0963x091
或,
1x0963x093x0961x0960x096x0958x098
56x0910x0954x0912x0913x0951x0915x0949
17x0947x0919x0945x0944x0922x0942x0924
40x0926x0938x0928x0929x0935x0931x0933
32x0934x0930x0936x0937x0927x0939x0925
41x0923x0943x0921x0920x0946x0918x0948
16x0950x0914x0952x0953x0911x0955x099
57x097x0959x095x094x0962x092x0964
完成幻方,幻和值260.
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方,将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换.
下图为将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
64x092x093x0961x0960x096x097x0957
9x0955x0954x0912x0913x0951x0950x0916
17x0947x0946x0920x0921x0943x0942x0924
40x0926x0927x0937x0936x0930x0931x0933
32x0934x0935x0929x0928x0938x0939x0925
41x0923x0922x0944x0945x0919x0918x0948
49x0915x0914x0952x0953x0911x0910x0956
8x0958x0959x095x094x0962x0963x091
下图为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换,完成幻方,幻和值260.
1x0963x0962x094x095x0959x0958x098
56x0910x0911x0953x0952x0914x0915x0949
48x0918x0919x0945x0944x0922x0923x0941
25x0939x0938x0928x0929x0935x0934x0932
33x0931x0930x0936x0937x0927x0926x0940
24x0942x0943x0921x0920x0946x0947x0917
16x0950x0951x0913x0912x0954x0955x099
57x097x096x0960x0961x093x092x0964
2、Strachey法生成双偶幻方
第一步,将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方.
A C
D B
A用1至(2m)^2填写成2m阶幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填写成2m阶幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填写成2m阶幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填写成2m阶幻方；
将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方.将其等分为四个2×2阶偶数幻方,即4阶偶数幻方.
16x092x093x0913x0948x0934x0935x0945
5x0911x0910x098x0937x0943x0942x0940
9x097x096x0912x0941x0939x0938x0944
4x0914x0915x091x0936x0946x0947x0933
64x0950x0951x0961x0932x0918x0919x0929
53x0959x0958x0956x0921x0927x0926x0924
57x0955x0954x0960x0925x0923x0922x0928
52x0962x0963x0949x0920x0930x0931x0917
第三步,在A每行取m个小格（一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,将其与D相应方格内交换；B与C以相同方法进行.
对于8阶幻方,A每行取2个小格（一侧对角线格为必换格,其余1格只要不是另一侧对角线格即可）,要与D相应方格内交换；C与B以相同方法进行.
最简单的方法就是：A任意2列,与D相对应的2列互换,C任意2列,与B相对应的2列互换即可.
64x0950x093x0913x0948x0934x0919x0929
53x0959x0910x098x0937x0943x0926x0924
57x0955x096x0912x0941x0939x0922x0928
52x0962x0915x091x0936x0946x0931x0917
16x092x0951x0961x0932x0918x0935x0945
5x0911x0958x0956x0921x0927x0942x0940
9x097x0954x0960x0925x0923x0938x0944
4x0914x0963x0949x0920x0930x0947x0933
或
64x0950x093x0913x0932x0918x0935x0945
53x0959x0910x098x0921x0927x0942x0940
57x0955x096x0912x0925x0923x0938x0944
52x0962x0915x091x0920x0930x0947x0933
16x092x0951x0961x0948x0934x0919x0929
5x0911x0958x0956x0937x0943x0926x0924
9x097x0954x0960x0941x0939x0922x0928
4x0914x0963x0949x0936x0946x0931x0917
等等完成幻方,幻和值260.
二、单偶幻方的解法
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方.将其等分为四分,成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方.
A C
D B
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
【注：(2m+1)2是(2m+1)的平方,以下同】
8x091x096x0926x0919x0924
3x095x097x0921x0923x0925
4x099x092x0922x0927x0920
35x0928x0933x0917x0910x0915
30x0932x0934x0912x0914x0916
31x0936x0929x0913x0918x0911
在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格,其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可）,也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格,其他行左侧边缘取m个小格,将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换.
6阶幻方就是4*1+2,那么m就是1.在A中间一行取中心格1个小格,其他行左侧边缘取1个小格,将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换（6阶幻方m-1=0,则不用互换）.如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35x091x096x0926x0919x0924
3x0932x097x0921x0923x0925
31x099x092x0922x0927x0920
8x0928x0933x0917x0910x0915
30x095x0934x0912x0914x0916
4x0936x0929x0913x0918x0911
每一行,每一列,对角线的和值（称为幻和值）为111.
一个n阶幻方幻和值公式为：
Nn=1/2xn(n2+1)
【注：n2是n的平方】
N6=1/2x6x(36+1)=111