题目

在△ABC中，A+C=2B，且最大角与最小角的对边长度之比为(

3

+1)：2．求A，B，C的大小．

提问时间：2021-01-23

答案

因为在△ABC中，A+C=2B，所以180°=A+B+C=3B，于是B=60°．…（2分）
若最大角为A，则最小角为C．…（3分）
因为最大角与最小角的对边长度之比为(

3

+1)：2，
由正弦定理得

3 +1

2

＝

sinA

sinC

＝

sin(120°−C)

sinC

＝

3 2 cosC+ 1 2 sinC

sinC

＝

3

2

cotC+

1

2

，…（10分）
所以cotC=1． …（12分）
因为C为三角形的内角，所以C=45°．…（13分）
因而A=75°．…（14分）
若最大角为C，最小角为A，则可得A=45°，从而C=75°．…（15分）
综上得A=75°，B=60°，C=45°或A=45°，B=60°，C=75°．…（16分）

由题意可得B=60°，A+C=120°，若最大角为A，则最小角为C，由条件并利用正弦定理求得cotC=1，C=45°；若最大角为C，最小角为A，同理可求得A，C的值．

本题考点：正弦定理的应用．

考点点评：本题主要考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，已知三角函数值求角的大小，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．