题目

已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8．a²+b²+c²+d²+e²=16，试确定e的最大值．

提问时间：2021-01-22

答案

根据已知条件

a+b+c+d＝8−e a2+b2+c2+d2＝16−e2

，
利用柯西不等式得（a²+b²+c²+d²）（1²+1²+1²+1²）≥（a+b+c+d）²，
∴（16-e²）•4≥（8-e）²，化简得5e²-16e≤0，解之得0≤e≤

16

5

．
因此可得：当且仅当a=b=c=d=

6

5

时，e的最大值为

16

5

．

根据柯西不等式，构造出（a²+b²+c²+d²）（1²+1²+1²+1²）≥（a+b+c+d）²，结合已知条件建立关于e的二次不等式，解之即可得到实数e的最大值．

本题考点：柯西不等式．

考点点评：本题给出已知等式，求实数e的最大值．着重考查了利用柯西不等式求最值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．